V11. limx→∞(x-3/x+4)3x+1

Вычислим предел:

$$lim_{x \to \infty} (\frac{x - 3}{x + 4})^{3x + 1}$$ Преобразуем выражение:

$$lim_{x \to \infty} (\frac{x + 4 - 7}{x + 4})^{3x + 1} = lim_{x \to \infty} (1 - \frac{7}{x + 4})^{3x + 1} = lim_{x \to \infty} (1 + \frac{-7}{x + 4})^{3x + 1}$$ Преобразуем к виду второго замечательного предела:

$$lim_{x \to \infty} ((1 + \frac{-7}{x + 4})^{\frac{x + 4}{-7}})^{\frac{-7}{x + 4} \cdot (3x + 1)} = lim_{x \to \infty} ((1 + \frac{-7}{x + 4})^{\frac{x + 4}{-7}})^{\frac{-21x - 7}{x + 4}}$$ Известно, что

$$lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$$

$$lim_{x \to \infty} (1 + \frac{-7}{x + 4})^{\frac{x + 4}{-7}} = e$$

Тогда предел равен:

$$e^{lim_{x \to \infty} \frac{-21x - 7}{x + 4}} = e^{-21}$$ Ответ: e^(-21)