-16. limx→0(1+3 tgx)tgx

Вычислим предел:

$$lim_{x \to 0} (1 + 3 tg x)^{tg x}$$

Пусть $$t = tg x$$, тогда при $$x \to 0$$ $$t \to 0$$. Следовательно:

$$lim_{t \to 0} (1 + 3t)^t$$

Представим предел в виде:

$$lim_{t \to 0} e^{ln((1 + 3t)^t)} = lim_{t \to 0} e^{t \cdot ln(1 + 3t)} = e^{lim_{t \to 0} t \cdot ln(1 + 3t)}$$

Найдем предел $$lim_{t \to 0} t \cdot ln(1 + 3t)$$. Так как $$t \to 0$$, то $$ln(1 + 3t) \sim 3t$$, следовательно,

$$lim_{t \to 0} t \cdot ln(1 + 3t) = lim_{t \to 0} t \cdot 3t = lim_{t \to 0} 3t^2 = 0$$

Тогда:

$$e^{lim_{t \to 0} t \cdot ln(1 + 3t)} = e^0 = 1$$

Ответ: 1