log7 (x² – 2x – 8) = 1

log₇(x² - 2x - 8) = 1

x² - 2x - 8 = 7¹

x² - 2x - 8 = 7

x² - 2x - 15 = 0

D = (-2)² - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64

x₁ = (2 + √64) / 2 = (2 + 8) / 2 = 5

x₂ = (2 - √64) / 2 = (2 - 8) / 2 = -3

Проверим, какие корни входят в область допустимых значений исходного выражения.

x² - 2x - 8 > 0

x² - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)

(x - 4)(x + 2) > 0

Интервалы: (-∞, -2), (-2, 4), (4, ∞)

x = 5: (5 - 4)(5 + 2) = 1 * 7 = 7 > 0 => x = 5 - решение

x = -3: (-3 - 4)(-3 + 2) = -7 * -1 = 7 > 0 => x = -3 - решение

Ответ: -3; 5