397. На сторонах треугольника АВС (рис. 254) отметили точки Е и F так, что 21 = 22. Докажите, что 23 = 24.

На рисунке 254: ∠1 = ∠2, необходимо доказать, что ∠3 = ∠4.

Сумма углов треугольника равна 180°. Рассмотрим треугольник AEF. ∠A + ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Т.к. ∠1 = ∠2, то ∠A + 2∠1 + ∠3 + ∠4 = 180° (1)

Рассмотрим треугольник ABC. ∠A + ∠B + ∠C = 180° (2)

Выразим ∠B и ∠C: ∠B = 2∠1 + ∠3, ∠C = ∠1 + ∠4 (т.к. ∠1 = ∠2, то ∠B = 2∠1 + ∠3 = ∠1 + ∠1 + ∠3)

Подставим в выражение (2) ∠A + ∠1 + ∠1 + ∠3 + ∠1 + ∠4 = 180° (3)

Выражение (3) - выражение (1), т.е. ∠3 = ∠4

Ответ: доказано, что ∠3 = ∠4