12. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, если все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45, а медиана основания равна 6. Ответ: 144

\[m = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] \[a = \frac{2m}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\] \[R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{12}{3} = 4\] \[h = R \cdot tg(45^\circ) = 4 \cdot 1 = 4\] \[S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}\] \[V = \frac{1}{3}S_{осн}h = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3}\]

Ответ: 144