4. Найти объем тела, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, если катеты равны 3см и 4 см.

Пусть a = 3 см, b = 4 см - катеты прямоугольного треугольника.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу c: c² = a² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

c = √25 = 5 см.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы получается тело, состоящее из двух конусов с общим основанием, радиус которого равен высоте, проведенной к гипотенузе.

Найдем высоту h, проведенную к гипотенузе: S = (1/2)ab = (1/2)ch.

ab = ch.

h = (ab)/c = (3 × 4) / 5 = 12 / 5 = 2.4 см.

Объем первого конуса V₁ = (1/3)πh²x, где x - часть гипотенузы.

Объем второго конуса V₂ = (1/3)πh²y, где y - часть гипотенузы, причем x + y = c.

Общий объем тела вращения V = V₁ + V₂ = (1/3)πh²x + (1/3)πh²y = (1/3)πh²(x + y) = (1/3)πh²c = (1/3)π(2.4)²(5) = (1/3)π(5.76)(5) = 9.6π см³.

Ответ: 9.6π см³