Задача № 10. Прямоугольный треугольник с катетами 20 см и 15 см вращается вокруг гипотенузы. Найти объём полученного тела вращения.

Пусть a = 20 см, b = 15 см - катеты прямоугольного треугольника.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу c: c² = a² + b² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625.

c = √625 = 25 см.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы получается тело, состоящее из двух конусов с общим основанием, радиус которого равен высоте, проведенной к гипотенузе.

Найдем высоту h, проведенную к гипотенузе: S = (1/2)ab = (1/2)ch.

ab = ch.

h = (ab)/c = (20 × 15) / 25 = 300 / 25 = 12 см.

Объем первого конуса V₁ = (1/3)πh²x, где x - часть гипотенузы.

Объем второго конуса V₂ = (1/3)πh²y, где y - часть гипотенузы, причем x + y = c.

Общий объем тела вращения V = V₁ + V₂ = (1/3)πh²x + (1/3)πh²y = (1/3)πh²(x + y) = (1/3)πh²c = (1/3)π(12²)(25) = (1/3)π(144)(25) = 1200π см³.

Ответ: 1200π см³