5) Объём конуса, вписанного в правильную четырёхугольную пирамиду, равен 3. Найдите объём конуса, описанного около этой пирамиды.

5) Пусть $$V_{впис}$$ - объем вписанного конуса, а $$V_{опис}$$ - объем описанного конуса. Радиус основания вписанного конуса $$r = a/2$$, где $$a$$ - сторона основания пирамиды. Радиус основания описанного конуса $$R = (a\sqrt{2})/2$$. Высота у конусов одинаковая и равна высоте пирамиды, обозначим ее за $$h$$. $$V_{впис} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (a/2)^2 h = \frac{1}{12} \pi a^2 h = 3$$. $$V_{опис} = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi ((a\sqrt{2})/2)^2 h = \frac{1}{3} \pi (2a^2/4) h = \frac{1}{6} \pi a^2 h = 2 \cdot \frac{1}{12} \pi a^2 h = 2 \cdot 3 = 6$$. Ответ: 6.