15.41. p = u⁴ cos² φ.

15.41. Дана функция двух переменных $$\rho=u^4 \cos^2(\varphi)$$.

Для нахождения частных производных необходимо вычислить производные по каждой переменной, считая другую переменную константой.

1. Находим частную производную по u:$$\frac{\partial \rho}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u}(u^4 \cos^2(\varphi)) = 4u^3 \cos^2(\varphi)$$
2. Находим частную производную по φ:$$\frac{\partial \rho}{\partial \varphi} = \frac{\partial}{\partial \varphi}(u^4 \cos^2(\varphi)) = u^4 \cdot 2 \cos(\varphi) \cdot (-\sin(\varphi)) = -2u^4 \cos(\varphi)\sin(\varphi) = -u^4 \sin(2\varphi)$$

Ответ: $$\frac{\partial \rho}{\partial u} = 4u^3 \cos^2(\varphi)$$, $$\frac{\partial \rho}{\partial \varphi} = -u^4 \sin(2\varphi)$$