15.33. z=√x2-y2.

15.33. Дана функция двух переменных $$z=\sqrt{x^2-y^2}$$.

Для нахождения частных производных необходимо вычислить производные по каждой переменной, считая другую переменную константой.

1. Находим частную производную по x:$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\sqrt{x^2-y^2}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2-y^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}$$
2. Находим частную производную по y:$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\sqrt{x^2-y^2}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2-y^2}} \cdot (-2y) = \frac{-y}{\sqrt{x^2-y^2}}$$

Ответ: $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}$$, $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{x^2-y^2}}$$