15.44. z=e arcsin √y/x.

15.44. Дана функция двух переменных $$z=e^{\arcsin(\sqrt{\frac{y}{x}})}$$.

Для нахождения частных производных необходимо вычислить производные по каждой переменной, считая другую переменную константой.

1. Находим частную производную по x:$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^{\arcsin(\sqrt{\frac{y}{x}})}) = e^{\arcsin(\sqrt{\frac{y}{x}})} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}} \cdot y(-\frac{1}{x^2}) = -\frac{y}{2x^2\sqrt{\frac{y}{x}(1-\frac{y}{x})}}e^{\arcsin(\sqrt{\frac{y}{x}})}$$
2. Находим частную производную по y:$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^{\arcsin(\sqrt{\frac{y}{x}})}) = e^{\arcsin(\sqrt{\frac{y}{x}})} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x\sqrt{\frac{y}{x}(1-\frac{y}{x})}}e^{\arcsin(\sqrt{\frac{y}{x}})}$$

Ответ: $$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y}{2x^2\sqrt{\frac{y}{x}(1-\frac{y}{x})}}e^{\arcsin(\sqrt{\frac{y}{x}})}$$, $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2x\sqrt{\frac{y}{x}(1-\frac{y}{x})}}e^{\arcsin(\sqrt{\frac{y}{x}})}$$