15.40. z = ln (x+√x²+y²).

15.40. Дана функция двух переменных $$z=\ln(x+\sqrt{x^2+y^2})$$.

Для нахождения частных производных необходимо вычислить производные по каждой переменной, считая другую переменную константой.

1. Находим частную производную по x:$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\ln(x+\sqrt{x^2+y^2})) = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot 2x) = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
2. Находим частную производную по y:$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\ln(x+\sqrt{x^2+y^2})) = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot 2y) = \frac{y}{(x+\sqrt{x^2+y^2})\sqrt{x^2+y^2}}$$

Ответ: $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$$, $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{(x+\sqrt{x^2+y^2})\sqrt{x^2+y^2}}$$