15.43. z=ln tg √x/y.

15.43. Дана функция двух переменных $$z=\ln(\tan(\sqrt{\frac{x}{y}}))$$.

Для нахождения частных производных необходимо вычислить производные по каждой переменной, считая другую переменную константой.

1. Находим частную производную по x:$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\ln(\tan(\sqrt{\frac{x}{y}}))) = \frac{1}{\tan(\sqrt{\frac{x}{y}})} \cdot \frac{1}{\cos^2(\sqrt{\frac{x}{y}})} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{y}}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{\tan(\sqrt{\frac{x}{y}})} \cdot \frac{1}{\cos^2(\sqrt{\frac{x}{y}})} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{y}}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2y\sqrt{\frac{x}{y}}\sin(\sqrt{\frac{x}{y}})\cos(\sqrt{\frac{x}{y}})}$$
2. Находим частную производную по y:$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\ln(\tan(\sqrt{\frac{x}{y}}))) = \frac{1}{\tan(\sqrt{\frac{x}{y}})} \cdot \frac{1}{\cos^2(\sqrt{\frac{x}{y}})} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{y}}} \cdot x(-\frac{1}{y^2}) = -\frac{x}{2y^2\sqrt{\frac{x}{y}}\sin(\sqrt{\frac{x}{y}})\cos(\sqrt{\frac{x}{y}})}$$

Ответ: $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2y\sqrt{\frac{x}{y}}\sin(\sqrt{\frac{x}{y}})\cos(\sqrt{\frac{x}{y}})}$$, $$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{2y^2\sqrt{\frac{x}{y}}\sin(\sqrt{\frac{x}{y}})\cos(\sqrt{\frac{x}{y}})}$$