15.42. s=ln sin (x-2t).

15.42. Дана функция двух переменных $$s = \ln(\sin(x-2t))$$.

Для нахождения частных производных необходимо вычислить производные по каждой переменной, считая другую переменную константой.

1. Находим частную производную по x:$$\frac{\partial s}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\ln(\sin(x-2t))) = \frac{1}{\sin(x-2t)} \cdot \cos(x-2t) = \cot(x-2t)$$
2. Находим частную производную по t:$$\frac{\partial s}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}(\ln(\sin(x-2t))) = \frac{1}{\sin(x-2t)} \cdot \cos(x-2t) \cdot (-2) = -2\cot(x-2t)$$

Ответ: $$\frac{\partial s}{\partial x} = \cot(x-2t)$$, $$\frac{\partial s}{\partial t} = -2\cot(x-2t)$$