15.39. z=ye-ху

15.39. Дана функция двух переменных $$z=ye^{-xy}$$.

Для нахождения частных производных необходимо вычислить производные по каждой переменной, считая другую переменную константой.

1. Находим частную производную по x:$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(ye^{-xy}) = y \cdot e^{-xy} \cdot (-y) = -y^2 e^{-xy}$$
2. Находим частную производную по y:$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(ye^{-xy}) = e^{-xy} + y \cdot e^{-xy} \cdot (-x) = e^{-xy} - xy e^{-xy} = e^{-xy}(1-xy)$$

Ответ: $$\frac{\partial z}{\partial x} = -y^2 e^{-xy}$$, $$\frac{\partial z}{\partial y} = e^{-xy}(1-xy)$$