15.36. z=ex.

15.36. Дана функция двух переменных $$z=e^{\frac{y}{x}}$$.

Для нахождения частных производных необходимо вычислить производные по каждой переменной, считая другую переменную константой.

1. Находим частную производную по x:$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^{\frac{y}{x}}) = e^{\frac{y}{x}} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{x^2} e^{\frac{y}{x}}$$
2. Находим частную производную по y:$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^{\frac{y}{x}}) = e^{\frac{y}{x}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x} e^{\frac{y}{x}}$$

Ответ: $$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y}{x^2} e^{\frac{y}{x}}$$, $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x} e^{\frac{y}{x}}$$