15.38. z=x/√x²+ y²

15.38. Дана функция двух переменных $$z=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$.

Для нахождения частных производных необходимо вычислить производные по каждой переменной, считая другую переменную константой.

1. Находим частную производную по x:$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}) = \frac{(1)\sqrt{x^2+y^2} - x(\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot 2x)}{x^2+y^2} = \frac{\sqrt{x^2+y^2} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2} = \frac{\frac{x^2+y^2-x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2} = \frac{y^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}$$
2. Находим частную производную по y:$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}) = x \cdot (-\frac{1}{2}(x^2+y^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2y) = -\frac{xy}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}$$

Ответ: $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}$$, $$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{xy}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}$$