15.37. z=arctgx/y.

15.37. Дана функция двух переменных $$z=\arctan(\frac{x}{y})$$.

Для нахождения частных производных необходимо вычислить производные по каждой переменной, считая другую переменную константой.

1. Находим частную производную по x:$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\arctan(\frac{x}{y})) = \frac{1}{1+(\frac{x}{y})^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{1+\frac{x^2}{y^2}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{\frac{y^2+x^2}{y^2}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y^2}{y^2+x^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y}{x^2+y^2}$$
2. Находим частную производную по y:$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\arctan(\frac{x}{y})) = \frac{1}{1+(\frac{x}{y})^2} \cdot (-\frac{x}{y^2}) = \frac{1}{\frac{y^2+x^2}{y^2}} \cdot (-\frac{x}{y^2}) = \frac{y^2}{y^2+x^2} \cdot (-\frac{x}{y^2}) = -\frac{x}{x^2+y^2}$$

Ответ: $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{x^2+y^2}$$, $$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{x^2+y^2}$$