15.31. z=x/y.

15.31. Дана функция двух переменных $$z=\frac{x}{y}$$.

Для нахождения частных производных необходимо вычислить производные по каждой переменной, считая другую переменную константой.

1. Находим частную производную по x:$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{y}) = \frac{1}{y}$$
2. Находим частную производную по y:$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\frac{x}{y}) = x \cdot \frac{\partial}{\partial y}(\frac{1}{y}) = x \cdot (-\frac{1}{y^2}) = -\frac{x}{y^2}$$

Ответ: $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{y}$$, $$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{y^2}$$