15.32. z=y-2x/x+2y

15.32. Дана функция двух переменных $$z=\frac{y-2x}{x+2y}$$.

Для нахождения частных производных необходимо вычислить производные по каждой переменной, считая другую переменную константой.

1. Находим частную производную по x:$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{y-2x}{x+2y}) = \frac{(-2)(x+2y) - (y-2x)(1)}{(x+2y)^2} = \frac{-2x - 4y - y + 2x}{(x+2y)^2} = \frac{-5y}{(x+2y)^2}$$
2. Находим частную производную по y:$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\frac{y-2x}{x+2y}) = \frac{(1)(x+2y) - (y-2x)(2)}{(x+2y)^2} = \frac{x+2y - 2y + 4x}{(x+2y)^2} = \frac{5x}{(x+2y)^2}$$

Ответ: $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-5y}{(x+2y)^2}$$, $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{5x}{(x+2y)^2}$$