10.11. При каких значениях параметра а все корни уравнения (а – 1)x²- 2(a + 2)x + a = 0 принадлежат промежутку (-1; 2)?

Для решения данной задачи необходимо рассмотреть случай a = 1 отдельно. Если a = 1, то уравнение принимает вид -6x + 1 = 0, x = 1/6. 1/6 принадлежит интервалу (-1; 2). Следовательно, a = 1 удовлетворяет условию задачи. Далее будем считать, что a ≠ 1. Пусть f(x) = (a - 1)x² - 2(a + 2)x + a. Для того чтобы все корни уравнения принадлежали промежутку (-1; 2), необходимо и достаточно, чтобы: 1) D >= 0 2) a - 1 > 0 или a - 1 < 0 3) -1 < x_v < 2 4) f(-1) >= 0, если a > 1 или f(-1) <= 0, если a < 1 5) f(2) >= 0, если a > 1 или f(2) <= 0, если a < 1 1) D = (-2(a + 2))² - 4(a - 1)a = 4(a² + 4a + 4) - 4(a² - a) = 4a² + 16a + 16 - 4a² + 4a = 20a + 16 >= 0 => a >= -4/5 2) a - 1 > 0 или a - 1 < 0 => a > 1 или a < 1 3) x_v = 2(a + 2) / (2(a - 1)) = (a + 2) / (a - 1) -1 < (a + 2) / (a - 1) < 2 -1 < (a + 2) / (a - 1) <=> (a + 2) / (a - 1) + 1 > 0 <=> (2a + 1) / (a - 1) > 0 => a < -1/2 или a > 1 (a + 2) / (a - 1) < 2 <=> (a + 2) / (a - 1) - 2 < 0 <=> (-a + 4) / (a - 1) < 0 => a < 1 или a > 4 4) f(-1) = (a - 1)(-1)² - 2(a + 2)(-1) + a = a - 1 + 2a + 4 + a = 4a + 3 f(2) = (a - 1)(2)² - 2(a + 2)2 + a = 4a - 4 - 4a - 8 + a = a - 12 Случай 1: a > 1: f(-1) >= 0 => 4a + 3 >= 0 => a >= -3/4 f(2) >= 0 => a - 12 >= 0 => a >= 12 Случай 2: a < 1: f(-1) <= 0 => 4a + 3 <= 0 => a <= -3/4 f(2) <= 0 => a - 12 <= 0 => a <= 12 Объединяем все условия: a >= -4/5 a < -1/2 или a > 1 a < 1 или a > 4 Случай 1: a > 1: a >= 12 Случай 2: a < 1: a <= -3/4 Получаем: -4/5 <= a <= -3/4, a >= 12, a = 1. Ответ: -4/5 <= a <= -3/4; a = 1; a >= 12