5. При увеличении длины математического маятника на 10 см его период колебаний увеличился на 0,1 с. Каким был начальный период колебаний?

5. Пусть начальная длина маятника $$l$$, тогда начальный период:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

При увеличении длины на 0,1 м:

$$T + 0.1 = 2\pi \sqrt{\frac{l + 0.1}{g}}$$

Выразим $$l$$ из первого уравнения:

$$l = \frac{g T^2}{4\pi^2}$$

Подставим во второе уравнение:

$$T + 0.1 = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{g T^2}{4\pi^2} + 0.1}{g}}$$ $$T + 0.1 = 2\pi \sqrt{\frac{g T^2 + 0.4\pi^2}{4\pi^2 g}}$$ $$T + 0.1 = 2\pi \sqrt{\frac{g}{4\pi^2 g} (T^2 + \frac{0.4\pi^2}{g})}$$ $$T + 0.1 = 2\pi \frac{1}{2\pi} \sqrt{T^2 + \frac{0.4 \cdot (3.14)^2}{9.8}}$$ $$T + 0.1 = \sqrt{T^2 + 0.404}$$ $$T^2 + 0.2T + 0.01 = T^2 + 0.404$$ $$0.2T = 0.394$$ $$T = \frac{0.394}{0.2} = 1.97 \text{ с}$$

Ответ: 1.97 с