В2. Решите уравнение x/(x+3) + (x-6)/(x-3) = 1

Разбор задания:

Это дробно-рациональное уравнение. Сначала найдем общий знаменатель и приведем к нему все дроби.

1. Находим область допустимых значений (ОДЗ):
• Знаменатели не должны быть равны нулю.
• \( x + 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ -3 \)
• \( x - 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3 \)
2. Приводим к общему знаменателю:
• Общий знаменатель: \( (x+3)(x-3) \)
• \[ \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{(x-6)(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{1(x+3)(x-3)}{(x+3)(x-3)} \]
3. Умножаем обе части на общий знаменатель (с учетом ОДЗ):
• \[ x(x-3) + (x-6)(x+3) = (x+3)(x-3) \]
4. Раскрываем скобки:
• \[ x^2 - 3x + (x^2 + 3x - 6x - 18) = x^2 - 9 \]
• \[ x^2 - 3x + x^2 - 3x - 18 = x^2 - 9 \]
5. Приводим подобные слагаемые:
• \[ 2x^2 - 6x - 18 = x^2 - 9 \]
6. Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
• \[ 2x^2 - x^2 - 6x - 18 + 9 = 0 \]
• \[ x^2 - 6x - 9 = 0 \]
7. Решаем полученное квадратное уравнение:
• Используем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \)
• \[ D = (-6)^2 - 4 \times 1 \times (-9) = 36 + 36 = 72 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \]
• Находим корни:
• \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 6\sqrt{2}}{2} = 3 + 3\sqrt{2} \]
• \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 6\sqrt{2}}{2} = 3 - 3\sqrt{2} \]
8. Проверяем корни на соответствие ОДЗ:
• Найденные корни \( 3 + 3\sqrt{2} \) и \( 3 - 3\sqrt{2} \) не равны 3 и -3.
9. Вывод: Оба корня подходят.

Ответ: \( 3 + 3\sqrt{2} \); \( 3 - 3\sqrt{2} \)