В3. Решите неравенство (3-x)/(2+x) ≥ 0

Разбор задания:

Нужно решить дробно-рациональное неравенство. Для этого используем метод интервалов.

1. Находим корни числителя и знаменателя:
• Числитель: \( 3 - x = 0 ⇒ x = 3 \)
• Знаменатель: \( 2 + x = 0 ⇒ x = -2 \)
2. Определяем ОДЗ:
• Знаменатель не равен нулю: \( x ≠ -2 \).
3. Метод интервалов:
• Отмечаем найденные значения -2 и 3 на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: (-∞; -2), (-2; 3), (3; +∞).
• Определяем знак выражения \( \frac{3-x}{2+x} \) на каждом интервале.
• Интервал (-∞; -2): Возьмем \( x = -3 \). \( \frac{3 - (-3)}{2 + (-3)} = \frac{6}{-1} = -6 \) (знак -).
• Интервал (-2; 3): Возьмем \( x = 0 \). \( \frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac{3}{2} = 1.5 \) (знак +).
• Интервал (3; +∞): Возьмем \( x = 4 \). \( \frac{3 - 4}{2 + 4} = \frac{-1}{6} \) (знак -).
4. Выбираем решение неравенства:
• Нам нужно, где \( \frac{3-x}{2+x} ≥ 0 \), то есть положительные значения или ноль.
• Это интервал (-2; 3).
• Так как неравенство нестрогое (≥), числитель может быть равен нулю, поэтому \( x = 3 \) включается в решение. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x = -2 \) не включается.
• Решение: \( (-2; 3] \)
5. Сопоставление с вариантами (варианты не предоставлены, но решение получено).

Ответ: \( (-2; 3] \)