1. Вычислить (1 балл) \frac{23^{\frac{1}{3}} \cdot 22^{\frac{3}{2}}}{25}

Для решения данного задания необходимо упростить выражение, используя свойства степеней.

1. Разложим число 225 на множители: $$225 = 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2$$.
2. Выражение принимает вид:$$\frac{23^{\frac{1}{3}} \cdot 22^{\frac{3}{2}}}{25} = \frac{2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{3}{2}} \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3^2 \cdot 5^2}$$
3. Применим свойства степеней: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ и $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$.
4. Упростим выражение:$$\frac{2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3^2 \cdot 5^2} = 2^{\frac{1}{3} + \frac{3}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{3} - 2} \cdot 5^{\frac{3}{2} - 2} = 2^{\frac{2+9}{6}} \cdot 3^{\frac{1-6}{3}} \cdot 5^{\frac{3-4}{2}} = 2^{\frac{11}{6}} \cdot 3^{-\frac{5}{3}} \cdot 5^{-\frac{1}{2}}$$.

Вычислить точно данное выражение без калькулятора затруднительно.

Если в условии задания опечатка и требуется вычислить $$\frac{25^{\frac{1}{3}} \cdot 225^{\frac{3}{2}}}{25}$$, то решение будет следующим:

1. Разложим число 225 на множители: $$225 = 15^2$$.
2. Упростим выражение: $$\frac{25^{\frac{1}{3}} \cdot 225^{\frac{3}{2}}}{25} = \frac{(5^2)^{\frac{1}{3}} \cdot (15^2)^{\frac{3}{2}}}{5^2} = \frac{5^{\frac{2}{3}} \cdot 15^3}{5^2}$$.
3. Разложим 15 на множители: $$15 = 3 \cdot 5$$.
4. Продолжим упрощение: $$\frac{5^{\frac{2}{3}} \cdot (3 \cdot 5)^3}{5^2} = \frac{5^{\frac{2}{3}} \cdot 3^3 \cdot 5^3}{5^2} = 5^{\frac{2}{3} + 3 - 2} \cdot 3^3 = 5^{\frac{2+3}{3}} \cdot 3^3 = 5^{\frac{5}{3}} \cdot 27 = 27 \cdot 5^{\frac{5}{3}}$$.

Это выражение также сложно вычислить без калькулятора.

Ответ: Вычислить точно данное выражение без калькулятора затруднительно. Если в условии ошибка, то $$27 \cdot 5^{\frac{5}{3}}$$.