15. y=\frac{x-1}{\sqrt{x}} ;

15. $$y = \frac{x-1}{\sqrt{x}}$$

Для нахождения производной функции $$y = \frac{x-1}{\sqrt{x}}$$, можно использовать правило дифференцирования частного (дроби): $$ (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$

В нашем случае: $$u = x-1$$ и $$v = \sqrt{x}$$.

Найдём производные $$u$$ и $$v$$:

1. $$u' = (x-1)' = 1$$
2. $$v' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Теперь подставим эти производные в формулу производной частного:$$ y' = \frac{1 \cdot \sqrt{x} - (x-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} $$Упростим выражение:$$ y' = \frac{\sqrt{x} - \frac{x-1}{2\sqrt{x}}}{x} $$Умножим числитель и знаменатель на $$2\sqrt{x}$$:$$ y' = \frac{2x - (x-1)}{2x\sqrt{x}} = \frac{2x - x + 1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x + 1}{2x\sqrt{x}} $$

Выражение можно упростить ещё немного:$$ y' = \frac{x+1}{2x^{3/2}} $$

Ответ: $$y' = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$$