41. z = e^{x²+y²} ;

41. $$z = e^{x^2 + y^2}$$

Для нахождения частных производных первого порядка функции $$z = e^{x^2 + y^2}$$, используем цепное правило.

Найдём частную производную по $$x$$:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x^2 + y^2} \cdot (x^2 + y^2)'_x = e^{x^2 + y^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2 + y^2}$$

Найдём частную производную по $$y$$:

$$\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x^2 + y^2} \cdot (x^2 + y^2)'_y = e^{x^2 + y^2} \cdot 2y = 2y e^{x^2 + y^2}$$

Ответ: $$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x e^{x^2 + y^2}$$, $$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y e^{x^2 + y^2}$$