54. z = e^{xy}.

54. $$z = e^{xy}$$

Для нахождения частных производных второго порядка функции $$z = e^{xy}$$, сначала найдём частные производные первого порядка, используя цепное правило.

Найдём частную производную по $$x$$:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{xy} \cdot (xy)'_x = e^{xy} \cdot y = y e^{xy}$$

Найдём частную производную по $$y$$:

$$\frac{\partial z}{\partial y} = e^{xy} \cdot (xy)'_y = e^{xy} \cdot x = x e^{xy}$$

Теперь найдём частные производные второго порядка:

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (y e^{xy}) = y \cdot (e^{xy} \cdot y) = y^2 e^{xy}$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (x e^{xy}) = x \cdot (e^{xy} \cdot x) = x^2 e^{xy}$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (x e^{xy}) = x \cdot (e^{xy} \cdot y) + e^{xy} = xy e^{xy} + e^{xy} = e^{xy} (xy + 1)$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (y e^{xy}) = y \cdot (e^{xy} \cdot x) + e^{xy} = xy e^{xy} + e^{xy} = e^{xy} (xy + 1)$$

Ответ: $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = y^2 e^{xy}$$, $$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x^2 e^{xy}$$, $$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = e^{xy} (xy + 1)$$, $$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = e^{xy} (xy + 1)$$