51. z = x² + 4y²;

51. $$z = x^2 + 4y^2$$

Для нахождения частных производных второго порядка функции $$z = x^2 + 4y^2$$, сначала найдём частные производные первого порядка:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} = 8y$$

Теперь найдём частные производные второго порядка:

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (2x) = 2$$ $$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (8y) = 8$$ $$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (8y) = 0$$ $$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (2x) = 0$$

Ответ: $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2$$, $$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 8$$, $$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0$$, $$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 0$$