42. z = x² sin y ;

42. $$z = x^2 \sin y$$

Для нахождения частных производных первого порядка функции $$z = x^2 \sin y$$, применяем правила дифференцирования.

Найдём частную производную по $$x$$:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = (x^2 \sin y)'_x = \sin y \cdot (x^2)'_x = \sin y \cdot 2x = 2x \sin y$$

Найдём частную производную по $$y$$:

$$\frac{\partial z}{\partial y} = (x^2 \sin y)'_y = x^2 \cdot (\sin y)'_y = x^2 \cdot \cos y = x^2 \cos y$$

Ответ: $$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \sin y$$, $$\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 \cos y$$