53. z = ln(x - 2y);

53. $$z = \ln(x - 2y)$$

Для нахождения частных производных второго порядка функции $$z = \ln(x - 2y)$$, сначала найдём частные производные первого порядка, используя цепное правило.

Найдём частную производную по $$x$$:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x - 2y} \cdot (x - 2y)'_x = \frac{1}{x - 2y} \cdot 1 = \frac{1}{x - 2y}$$

Найдём частную производную по $$y$$:

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x - 2y} \cdot (x - 2y)'_y = \frac{1}{x - 2y} \cdot (-2) = -\frac{2}{x - 2y}$$

Теперь найдём частные производные второго порядка:

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{1}{x - 2y}\right) = (-(x - 2y)^{-2} \cdot 1) = -\frac{1}{(x - 2y)^2}$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(-\frac{2}{x - 2y}\right) = -2 \cdot (-(x - 2y)^{-2} \cdot (-2)) = -\frac{4}{(x - 2y)^2}$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{2}{x - 2y}\right) = -2 \cdot (-(x - 2y)^{-2} \cdot 1) = \frac{2}{(x - 2y)^2}$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{1}{x - 2y}\right) = (-(x - 2y)^{-2} \cdot (-2)) = \frac{2}{(x - 2y)^2}$$

Ответ: $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{1}{(x - 2y)^2}$$, $$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -\frac{4}{(x - 2y)^2}$$, $$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{2}{(x - 2y)^2}$$, $$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{2}{(x - 2y)^2}$$