23. y = 4c tg (\frac{x}{2})

23. $$y = 4 \operatorname{ctg} \left(\frac{x}{2}\right)$$

Для нахождения производной функции $$y = 4 \operatorname{ctg} \left(\frac{x}{2}\right)$$, можно использовать цепное правило (производная сложной функции). Пусть $$y = 4 \operatorname{ctg}(u)$$, где $$u = \frac{x}{2}$$.

Тогда производная $$y$$ по $$x$$ будет:$$ y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$Найдём производные:$$ \frac{dy}{du} = (4 \operatorname{ctg} u)' = -\frac{4}{\sin^2 u} $$$$ \frac{du}{dx} = (\frac{x}{2})' = \frac{1}{2} $$

Теперь подставим эти производные в формулу:$$ y' = -\frac{4}{\sin^2 u} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{2}{\sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)} $$

Ответ: $$y' = -\frac{2}{\sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)}$$