16. y = \frac{ln x}{tg x}.

16. $$y = \frac{\ln x}{\tan x}$$

Для нахождения производной функции $$y = \frac{\ln x}{\tan x}$$, используем правило дифференцирования частного:$$ (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$

В нашем случае: $$u = \ln x$$ и $$v = \tan x$$.

Найдём производные $$u$$ и $$v$$:

1. $$u' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$$
2. $$v' = (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Подставим эти производные в формулу производной частного:$$ y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot \tan x - \ln x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}{(\tan x)^2} $$Упростим выражение:$$ y' = \frac{\frac{\tan x}{x} - \frac{\ln x}{\cos^2 x}}{\tan^2 x} $$Умножим числитель и знаменатель на $$x \cos^2 x$$:$$ y' = \frac{\tan x \cdot \cos^2 x - x \ln x}{x \tan^2 x \cos^2 x} $$Вспомним, что $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$:$$ y' = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x - x \ln x}{x \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cos^2 x} = \frac{\sin x \cos x - x \ln x}{x \sin^2 x} $$

Ответ: $$y' = \frac{\sin x \cos x - x \ln x}{x \sin^2 x}$$