52. z = \frac{x-y}{x+y} ;

52. $$z = \frac{x-y}{x+y}$$

Для нахождения частных производных второго порядка функции $$z = \frac{x-y}{x+y}$$, сначала найдём частные производные первого порядка, используя правило частного:$$ (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$

Найдём частную производную по $$x$$:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(x-y)'_x (x+y) - (x-y) (x+y)'_x}{(x+y)^2} = \frac{1(x+y) - (x-y)1}{(x+y)^2} = \frac{x+y - x + y}{(x+y)^2} = \frac{2y}{(x+y)^2}$$

Найдём частную производную по $$y$$:

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{(x-y)'_y (x+y) - (x-y) (x+y)'_y}{(x+y)^2} = \frac{(-1)(x+y) - (x-y)(1)}{(x+y)^2} = \frac{-x-y - x + y}{(x+y)^2} = \frac{-2x}{(x+y)^2}$$

Теперь найдём частные производные второго порядка:

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{2y}{(x+y)^2}\right) = 2y \cdot (-(x+y)^{-3} \cdot 2) = -\frac{4y}{(x+y)^3}$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{-2x}{(x+y)^2}\right) = -2x \cdot (-(x+y)^{-3} \cdot 2) = \frac{4x}{(x+y)^3}$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{-2x}{(x+y)^2}\right) = -2 \cdot \frac{1(x+y)^2 - x \cdot 2(x+y)}{(x+y)^4} = -2 \cdot \frac{(x+y) - 2x}{(x+y)^3} = -2 \cdot \frac{y-x}{(x+y)^3} = \frac{2(x-y)}{(x+y)^3}$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{2y}{(x+y)^2}\right) = 2 \cdot \frac{1(x+y)^2 - y \cdot 2(x+y)}{(x+y)^4} = 2 \cdot \frac{(x+y) - 2y}{(x+y)^3} = 2 \cdot \frac{x-y}{(x+y)^3} = \frac{2(x-y)}{(x+y)^3}$$

Ответ: $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{4y}{(x+y)^3}$$, $$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{4x}{(x+y)^3}$$, $$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{2(x-y)}{(x+y)^3}$$, $$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{2(x-y)}{(x+y)^3}$$