43. z = (5x²y - y³ + 7)³ ;

43. $$z = (5x^2y - y^3 + 7)^3$$

Для нахождения частных производных первого порядка функции $$z = (5x^2y - y^3 + 7)^3$$, используем цепное правило.

Найдём частную производную по $$x$$:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 3(5x^2y - y^3 + 7)^2 \cdot (5x^2y - y^3 + 7)'_x = 3(5x^2y - y^3 + 7)^2 \cdot (10xy) = 30xy(5x^2y - y^3 + 7)^2$$

Найдём частную производную по $$y$$:

$$\frac{\partial z}{\partial y} = 3(5x^2y - y^3 + 7)^2 \cdot (5x^2y - y^3 + 7)'_y = 3(5x^2y - y^3 + 7)^2 \cdot (5x^2 - 3y^2) = 3(5x^2 - 3y^2)(5x^2y - y^3 + 7)^2$$

Ответ: $$\frac{\partial z}{\partial x} = 30xy(5x^2y - y^3 + 7)^2$$, $$\frac{\partial z}{\partial y} = 3(5x^2 - 3y^2)(5x^2y - y^3 + 7)^2$$