Задание 17. Найдите точку максимума функции y=(x+6)^2·e^9-x.

Находим производную: y' = 2(x+6)e^(9-x) + (x+6)^2 e^(9-x)(-1) = e^(9-x)(2(x+6) - (x+6)^2) = e^(9-x)(x+6)(2 - (x+6)) = e^(9-x)(x+6)( -x-4).

Приравниваем производную к нулю: e^(9-x)(x+6)(-x-4) = 0, x = -6 или x = -4.

Проверяем знак производной: при x < -6 y' < 0 (убывает), при -6 < x < -4 y' > 0 (возрастает), при x > -4 y' < 0 (убывает). Следовательно, x = -4 - точка максимума.