Задание 22. Найдите наименьшее значение функции y=(4x²+24x-24)·e^-x на отрезке [-1; 6].

Находим производную: y' = (8x+24)e^-x + (4x²+24x-24)(-e^-x) = e^-x(8x+24 - 4x²-24x+24) = e^-x(-4x²-16x+48) = -4e^-x(x²+4x-12).

Приравниваем производную к нулю: -4e^-x(x²+4x-12) = 0, x²+4x-12 = 0, (x+6)(x-2) = 0. Критические точки: x = -6, x = 2.

На отрезке [-1; 6] критическая точка x = 2.

Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке: y(-1) = (4-24-24)e^1 = -44e. y(2) = (4*4+24*2-24)e^-2 = (16+48-24)e^-2 = 40e^-2 = 40/e^2. y(6) = (4*36+24*6-24)e^-6 = (144+144-24)e^-6 = 264e^-6 = 264/e^6.

Наименьшее значение равно -44e.