Задание 23. Найдите наименьшее значение функции y=(x^2-18x+18)·e^2-x на отрезке [0; 4].

Находим производную: y' = (2x-18)e^(2-x) + (x^2-18x+18)e^(2-x)(-1) = e^(2-x)(2x-18 - x²+18x-18) = e^(2-x)(-x²+20x-36).

Приравниваем производную к нулю: -x²+20x-36 = 0, x²-20x+36 = 0. По теореме Виета: x1+x2=20, x1*x2=36. Корни: x=2 и x=18.

На отрезке [0; 4] критическая точка x = 2.

Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке: y(0) = 18e^2. y(2) = (4-36+18)e^0 = -14. y(4) = (16-72+18)e^-2 = -38e^-2 = -38/e^2.

Наименьшее значение равно -14.