Задание 24. Найдите наименьшее значение функции y=(2x+9)·e^2x+10 на отрезке [-7; -3].

Находим производную: y' = 2e^(2x+10) + (2x+9)e^(2x+10)(2) = 2e^(2x+10)(1 + 2x+9) = 2e^(2x+10)(2x+10).

Приравниваем производную к нулю: 2e^(2x+10)(2x+10) = 0, 2x+10 = 0, x = -5.

Критическая точка x = -5 входит в отрезок [-7; -3].

Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке: y(-7) = (2*(-7)+9)e^(2*(-7)+10) = (-14+9)e^(-14+10) = -5e^-4. y(-5) = (2*(-5)+9)e^(2*(-5)+10) = (-10+9)e^0 = -1. y(-3) = (2*(-3)+9)e^(2*(-3)+10) = (-6+9)e^(-6+10) = 3e^4.

Наименьшее значение равно -1.