Задание 20. Найдите наименьшее значение функции y=(x-3)^2(x+9)-8 на отрезке [-5; 9].

Находим производную: y' = 2(x-3)(x+9) + (x-3)^2 = (x-3)(2(x+9) + x-3) = (x-3)(3x+15) = 3(x-3)(x+5).

Критические точки: x = 3, x = -5. Обе точки входят в отрезок [-5; 9].

Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках: y(-5) = (-8)^2(4)-8 = 64*4-8 = 256-8 = 248. y(3) = 0*(12)-8 = -8. y(9) = (6)^2(18)-8 = 36*18-8 = 648-8 = 640.

Наименьшее значение равно -8.