10. Найдите первообразную F(x) функции f(x) = 12x³ + 4x² + 7

Решение:

Чтобы найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) \), нужно проинтегрировать \( f(x) \) по \( x \). Используем правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и свойство линейности интеграла.

\( f(x) = 12x^3 + 4x^2 + 7 \)

\[ F(x) = \int (12x^3 + 4x^2 + 7) dx \]\[ F(x) = 12 \int x^3 dx + 4 \int x^2 dx + 7 \int dx \]\[ F(x) = 12 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 4 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 7 \cdot x + C \]\[ F(x) = 12 \cdot \frac{x^4}{4} + 4 \cdot \frac{x^3}{3} + 7x + C \]\[ F(x) = 3x^4 + \frac{4}{3}x^3 + 7x + C \]

Где \( C \) — произвольная постоянная.

Ответ: \( F(x) = 3x^4 + \frac{4}{3}x^3 + 7x + C \).