16. Решите неравенство: \(\frac{2x-4}{x+8} \ge 0\)

Решение:

Для решения неравенства \( \frac{2x-4}{x+8} \ge 0 \) методом интервалов, найдем корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя: \( 2x - 4 = 0 \) => \( 2x = 4 \) => \( x = 2 \).

2. Корень знаменателя: \( x + 8 = 0 \) => \( x = -8 \). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \neq -8 \).

Теперь расставим эти значения на числовой оси и определим знаки выражения на каждом интервале:

• Интервал \( (-\infty; -8) \): Возьмем \( x = -10 \). \( \frac{2(-10)-4}{-10+8} = \frac{-20-4}{-2} = \frac{-24}{-2} = 12 \) (положительное).
• Интервал \( (-8; 2) \): Возьмем \( x = 0 \). \( \frac{2(0)-4}{0+8} = \frac{-4}{8} = -0.5 \) (отрицательное).
• Интервал \( (2; +\infty) \): Возьмем \( x = 3 \). \( \frac{2(3)-4}{3+8} = \frac{6-4}{11} = \frac{2}{11} \) (положительное).

Нам нужно, чтобы выражение было \( \ge 0 \). Это соответствует интервалам \( (-\infty; -8) \) и \( (2; +\infty) \). Так как неравенство нестрогое \( \ge \), точка \( x = 2 \) включается в решение. Точка \( x = -8 \) не включается, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Ответ: \( (-\infty; -8) \cup [2; +\infty) \).