20. Решите систему уравнений \(\begin{cases} 4x^2 - 3x = y \\ 8x - 6 = y \end{cases}\)

Решение:

Так как обе части уравнений равны \( y \), мы можем приравнять левые части уравнений:

\[ 4x^2 - 3x = 8x - 6 \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 4x^2 - 3x - 8x + 6 = 0 \]\[ 4x^2 - 11x + 6 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \).

Здесь \( a = 4 \), \( b = -11 \), \( c = 6 \).

\[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 \]\[ D = 121 - 16 \cdot 6 \]\[ D = 121 - 96 \]\[ D = 25 \]

Так как \( D > 0 \), у нас есть два корня для \( x \):

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{11 + 5}{8} = \frac{16}{8} = 2 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{11 - 5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]

Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \), подставив их во второе уравнение \( y = 8x - 6 \) (так как оно проще):

Для \( x_1 = 2 \):

\[ y_1 = 8 \cdot 2 - 6 = 16 - 6 = 10 \]

Для \( x_2 = \frac{3}{4} \):

\[ y_2 = 8 \cdot \frac{3}{4} - 6 = \frac{24}{4} - 6 = 6 - 6 = 0 \]

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: \( (2; 10); (\frac{3}{4}; 0) \).