6. Найдите область определения функции: y = \(\sqrt{9x-x^2}\).

Решение:

Область определения функции, содержащей квадратный корень, определяется условием неотрицательности подкоренного выражения.

Требуется, чтобы \( 9x - x^2 \ge 0 \).

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(9 - x) \ge 0 \]

Решим это неравенство методом интервалов. Корни уравнения \( x(9 - x) = 0 \) равны \( x = 0 \) и \( x = 9 \).

Разобьем числовую ось на интервалы:

• \( (-\infty; 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( -1(9 - (-1)) = -1(10) = -10 \) (отрицательное).
• \( (0; 9) \): Возьмем \( x = 1 \). \( 1(9 - 1) = 1(8) = 8 \) (положительное).
• \( (9; +\infty) \): Возьмем \( x = 10 \). \( 10(9 - 10) = 10(-1) = -10 \) (отрицательное).

Нам нужно, чтобы выражение было \( \ge 0 \), поэтому выбираем интервал \( (0; 9) \) и точки, где выражение равно нулю: \( x=0 \) и \( x=9 \).

Таким образом, область определения функции — отрезок \( [0; 9] \).

Ответ: \( [0; 9] \).