105. В прямоугольном треугольнике ABC угол C - прямой, высота CH = 8, tgB = 0,8. Найдите длину отрезка BH.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC:\(\operatorname{tg} B = AC / BC\). Так как \(\operatorname{tg} B = 0.8 = 4/5\), то \(AC / BC = 4/5\). Пусть \(AC = 4x\), \(BC = 5x\).
2. Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами:
   • \(S = (1/2) \cdot AC \cdot BC = (1/2) \cdot 4x \cdot 5x = 10x^2\)
   • \(S = (1/2) \cdot AB \cdot CH\). Найдем AB по теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2 = (4x)^2 + (5x)^2 = 16x^2 + 25x^2 = 41x^2\), \(AB = x\sqrt{41}\).
   • \(S = (1/2) \cdot x\sqrt{41} \cdot 8 = 4x\sqrt{41}\)
3. Приравняем площади:\(10x^2 = 4x\sqrt{41}\). Так как \(x
   eq 0\), разделим на \(x\):\(10x = 4\sqrt{41}\)\\(x = (4\sqrt{41}) / 10 = (2\sqrt{41}) / 5\)
4. Найдем BC:\(BC = 5x = 5 \cdot (2\sqrt{41}) / 5 = 2\sqrt{41}\)
5. В прямоугольном треугольнике CHB:\(\operatorname{tg} B = CH / HB\)\\(0.8 = 8 / HB\)\\(HB = 8 / 0.8 = 8 / (4/5) = 8 \cdot (5/4) = 10\)

Ответ: 10