6. Найдите корень уравнения 4 sin x cos x = cos²x - sin²x

Решение:

1. Заметим, что правая часть уравнения — это формула косинуса двойного угла: \(\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x\)
2. Заметим, что левая часть уравнения — это удвоенный синус двойного угла: \(2 \cdot (2 \sin x \cos x) = 2 \sin(2x)\)
3. Перепишем уравнение:\(2 \sin(2x) = \cos(2x)\)
4. Разделим обе части на \(\cos(2x)\) (при условии \(\cos(2x)
   eq 0\)):\(2 \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 1\)\\(2 \operatorname{tg}(2x) = 1\)\\( \operatorname{tg}(2x) = 1/2\)
5. Найдем 2x:\(2x = \operatorname{arctg}(1/2) + \pi k\), где \(k \in Z\)
6. Найдем x:\(x = \frac{1}{2} \operatorname{arctg}(1/2) + \frac{\pi k}{2}\), где \(k \in Z\)
7. Проверим условие \(\cos(2x)
   eq 0\). Если \(\cos(2x) = 0\), то \(2x = \pi/2 + \pi n\). В этом случае \(\operatorname{tg}(2x)\) не определен. Так как \(\operatorname{tg}(2x) = 1/2\), то \(\cos(2x)
   eq 0\).

Ответ: x = 1/2 arctg(1/2) + πk/2, где k ∈ Z