12. Найдите корень уравнения (1/2)10-3x = 1/343.

Пошаговое решение:

• Представим 1/343 как степень (1/7): \( \frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = 7^{-3} \)
• Заметим, что \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \) и \( \frac{1}{7} = 7^{-1} \).
• Перепишем уравнение: \( 2^{-(10-3x)} = 7^{-3} \)
• \( 2^{-10+3x} = 7^{-3} \)
• Поскольку основания разные, для решения данного уравнения требуется использовать логарифмы. Прологарифмируем обе части по основанию 10:
• \( \textrm{log}(2^{-10+3x}) = \textrm{log}(7^{-3}) \)
• \( (-10+3x)\textrm{log}(2) = -3\textrm{log}(7) \)
• \( -10\textrm{log}(2) + 3x\textrm{log}(2) = -3\textrm{log}(7) \)
• \( 3x\textrm{log}(2) = -3\textrm{log}(7) + 10\textrm{log}(2) \)
• \( x = \frac{-3\textrm{log}(7) + 10\textrm{log}(2)}{3\textrm{log}(2)} \)
• \( x = \frac{10\textrm{log}(2) - 3\textrm{log}(7)}{3\textrm{log}(2)} \)
• \( x = \frac{10}{3} - \frac{\textrm{log}(7)}{\textrm{log}(2)} \)
• \( x = \frac{10}{3} - \textrm{log}_2(7) \)

Ответ: x = 10/3 - log₂(7)