17. Решите неравенство

Решение:

Неравенство:

\( \frac{-12}{x^2 - 7x - 8} \le 0 \)

Чтобы дробь была меньше или равна нулю, числитель и знаменатель должны иметь разные знаки, либо числитель равен нулю. Так как числитель \( -12 \) отрицательный, то знаменатель должен быть положительным.

\( x^2 - 7x - 8 > 0 \)

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 7x - 8 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\( D = (-7)^2 - 4(1)(-8) = 49 + 32 = 81 \)

\( x_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7 + 9}{2} = 8 \)

\( x_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7 - 9}{2} = -1 \)

Парабола \( y = x^2 - 7x - 8 \) ветвями вверх. Значит, \( x^2 - 7x - 8 > 0 \) при \( x < -1 \) или \( x > 8 \).

Также нужно учесть, что знаменатель не может быть равен нулю, то есть \( x
e 8 \) и \( x
e -1 \). Это условие уже учтено в неравенстве \( > 0 \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -1) \cup (8; +\infty) \).