18. Решите неравенство

Решение:

Неравенство:

\( \frac{-12}{(x-1)^2 - 2} \ge 0 \)

Чтобы дробь была больше или равна нулю, числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки, либо числитель равен нулю. Так как числитель \( -12 \) отрицательный, то знаменатель должен быть отрицательным (и не равным нулю).

\( (x-1)^2 - 2 < 0 \)

\( (x-1)^2 < 2 \)

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\( -\sqrt{2} < x-1 < \sqrt{2} \)

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

\( 1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2} \)

Также нужно учесть, что знаменатель не может быть равен нулю:

\( (x-1)^2 - 2
e 0 \)

\( (x-1)^2
e 2 \)

\( x-1
e \pm \sqrt{2} \)

\( x
e 1 \pm \sqrt{2} \)

Полученный интервал \( (1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}) \) не включает точки \( 1 - \sqrt{2} \) и \( 1 + \sqrt{2} \), поэтому дополнительное условие выполняется.

Ответ: \( x \in (1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}) \).