24. Сократите дробь

Решение:

Дробь:

\( \frac{4 \cdot 36^n}{3^{2n-3} \cdot 2^{2n+2}} \)

Представим числа в виде степеней двойки и тройки:

\( 4 = 2^2 \)

\( 36 = 6^2 = (2 · 3)^2 = 2^2 · 3^2 \)

Подставим в числитель:

\( 4 \cdot 36^n = 2^2 \cdot (2^2 · 3^2)^n = 2^2 · 2^{2n} · 3^{2n} = 2^{2+2n} · 3^{2n} \)

Теперь запишем дробь с разложенными множителями:

\( \frac{2^{2n+2} · 3^{2n}}{3^{2n-3} · 2^{2n+2}} \)

Сократим одинаковые основания:

\( \frac{2^{2n+2}}{2^{2n+2}} = 1 \)

\( \frac{3^{2n}}{3^{2n-3}} = 3^{2n - (2n-3)} = 3^{2n - 2n + 3} = 3^3 \)

Таким образом, дробь равна \( 3^3 = 27 \).

Ответ: 27.